Bab 1
Bilangan Bulat
Dari suhu Puncak Jaya yang membeku hingga kedalaman Palung Jawa, bilangan bulat membantu kita menuliskan dua arah sekaligus: naik atau turun, untung atau rugi, di atas atau di bawah nol.
Tujuan Pembelajaran
Setelah menuntaskan bab ini, kalian diharapkan mampu:
- ✓Menjelaskan hubungan bilangan bulat positif dan negatif melalui garis bilangan (arah dan jarak dari nol).
- ✓Menuliskan notasi bilangan bulat dengan tepat.
- ✓Membandingkan dan mengurutkan bilangan bulat pada garis bilangan.
- ✓Menggunakan hubungan bilangan dengan lawannya (invers penjumlahan).
- ✓Menghitung penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan bulat.
- ✓Menentukan faktor suatu bilangan bulat, termasuk pasangan faktor negatif.
- ✓Menuliskan faktorisasi prima suatu bilangan cacah.
- ✓Menghubungkan faktorisasi prima dengan FPB dan KPK.
- ✓Menerapkan bilangan bulat untuk memecahkan masalah sehari-hari.
petaPeta Konsep Bab 1
Memahami Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri dari tiga kelompok: bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif — semuanya berjejer rapi di garis bilangan.
Bilangan nol dan bilangan bulat positif disebut bilangan cacah (0, 1, 2, 3, …). Bilangan bulat positif juga disebut bilangan asli. Bilangan bulat memperluas bilangan cacah dengan menambahkan lawan dari setiap bilangan asli, yaitu bilangan negatif, sehingga kita bisa menyatakan arah di bawah atau berkurang dari titik acuan.
Puncak Jaya berada sekitar +4.884 m di atas permukaan laut (0 m).
Palung Jawa mencapai sekitar −7.290 m di bawah permukaan laut.
Menyetor uang = +, menarik/berutang = −.
A.1Pengertian Bilangan Bulat
Perhatikan garis bilangan berikut. Titik 0 menjadi batas: ke kanan adalah bilangan bulat positif (semakin ke kanan semakin besar), ke kiri adalah bilangan bulat negatif (ditandai dengan tanda "−").
Tanda "−" pada bilangan bulat bukan berarti "kurang", melainkan menunjukkan arah berlawanan dari bilangan positif terhadap titik nol. Suhu −4°C bukan "kurang 4 derajat", tetapi "4 derajat di bawah titik beku (0°C)".
alatAlat Bandingkan Bilangan
A.2Membandingkan Bilangan Bulat
| Kelompok Bilangan | Aturan Perbandingan | Contoh |
|---|---|---|
| Bilangan positif | Semakin besar angkanya, semakin besar nilainya. | 30 > 11 |
| Bilangan negatif | Semakin besar angkanya (semakin jauh dari nol), nilainya justru semakin kecil. | −31 < −14 |
| Positif vs negatif | Bilangan positif selalu lebih besar dari bilangan negatif manapun. | −2 < 6 |
Pisahkan: negatif {−8, −2} dan positif {4, 12}→
Urutkan negatif (ingat: makin besar angka, makin kecil nilai): −8 < −2→
Hasil akhir: −8, −2, 4, 12
Kapal selam A berada di kedalaman −120 m, kapal selam B berada di kedalaman −45 m. Kapal mana yang posisinya lebih dekat ke permukaan laut? Mengapa "nilai yang lebih besar" di sini justru berarti lebih dekat ke permukaan?
latihanLatihan A · Menguji Pemahaman
1. Urutkan dari yang terkecil ke terbesar: −8, 4, −2, 12
2. Tanda apa yang tepat untuk: −253 ... 108 ?
3. Kota mana yang cuacanya lebih dingin: suhu −14°C atau −31°C?
4. Benar atau salah: "Semakin ke kiri pada garis bilangan, nilai bilangan semakin besar."
5. Urutkan dari yang terbesar ke terkecil: 23, −32, −47, 48
Operasi Hitung Bilangan Bulat
Bayangkan performa klub sepak bola: mendapatkan pemain bagus menaikkan performa, melepaskan pemain bagus menurunkannya. Logika "mendapatkan/melepaskan" dan "bagus/buruk" inilah yang mendasari aturan tanda pada operasi bilangan bulat.
B.1Penjumlahan & Pengurangan
| Proses | Notasi | Efek |
|---|---|---|
| Mendapatkan pemain bagus | +(+1) | Performa naik |
| Mendapatkan pemain buruk | +(−1) | Performa turun |
| Melepaskan pemain bagus | −(+1) | Performa turun |
| Melepaskan pemain buruk | −(−1) | Performa naik |
Dari pola ini terlihat: mengurangi bilangan negatif sama saja dengan menambah (dua tanda negatif beriringan saling meniadakan), sedangkan menambah bilangan negatif sama saja dengan mengurangi.
Komutatif: untuk sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = b + a.
Asosiatif: untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c, berlaku a + (b + c) = (a + b) + c.
Kedua sifat ini tidak berlaku pada pengurangan — coba uji sendiri: 5 − 3 tidak sama dengan 3 − 5.
B.2Perkalian & Pembagian
Perkalian bilangan bulat bekerja seperti mesin pendingin ruangan: menekan tombol bertanda positif "mengulang arah yang sama", sedangkan tombol bertanda negatif "membalikkan arah".
| Perkalian | Hasil | Pembagian | Hasil |
|---|---|---|---|
| positif × positif | positif | positif ÷ positif | positif |
| positif × negatif | negatif | positif ÷ negatif | negatif |
| negatif × positif | negatif | negatif ÷ positif | negatif |
| negatif × negatif | positif | negatif ÷ negatif | positif |
5 × 6 + (−3) × 9→ 30 + (−27)→ 3
Ibu Ratih meminjam uang Rp1.000.000,00 di koperasi. Bulan berikutnya ia baru mampu mengembalikan Rp750.000,00. Nyatakan sisa utang Ibu Ratih dalam bentuk bilangan bulat.
latihanLatihan B · Uji Hitungan
1. Hitunglah: 2 + (−6) − 7 = ...
2. Hitunglah: (−4) × (−8) : 2 = ...
3. Hitunglah: 5 × 6 + (−3) × 9 = ...
4. Hitunglah: ((−10) + (−4)) : 7 = ...
5. Ibu Ratih berutang Rp1.000.000,00 lalu membayar Rp750.000,00. Sisa utangnya dinyatakan sebagai...
6. Tanda hasil dari (−7) × (+3) adalah...
Faktor Bilangan Bulat
Faktor suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang dapat membaginya habis. Karena bilangan bulat mencakup negatif, setiap pasangan faktor positif punya "kembaran" negatif.
C.1Faktor & Pasangan Faktor
C.2Faktorisasi Prima & Pohon Faktor
Faktorisasi prima adalah cara menulis suatu bilangan sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima. Bilangan prima sendiri adalah bilangan asli lebih dari 1 yang hanya memiliki dua faktor: 1 dan dirinya sendiri.
C.3FPB & KPK
Faktor terbesar yang dimiliki bersama oleh dua bilangan atau lebih. Cocok untuk soal "membagi rata sebanyak mungkin kelompok".
Kelipatan terkecil yang sama dari dua bilangan atau lebih. Cocok untuk soal "kapan dua peristiwa terjadi bersamaan lagi".
Tiga bus sekolah tiba di halte setiap 6 menit, 10 menit, dan 15 menit sekali. Jika ketiganya berangkat bersamaan pukul 06.30, gunakan KPK untuk menentukan pukul berapa ketiganya akan tiba bersamaan lagi.
latihanLatihan C · Faktor, FPB & KPK
1. Semua faktor dari 18 adalah...
2. FPB dari 16 dan 24 adalah...
3. KPK dari 6 dan 10 adalah...
4. Faktorisasi prima dari 28 adalah...
5. Tiga bus tiba tiap 6, 10, dan 15 menit, berangkat bersama pukul 06.30. Pukul berapa mereka tiba bersamaan lagi?
Uji Kompetensi Bab 1
Delapan soal campuran untuk menguji seluruh materi: memahami bilangan bulat, operasi hitung, dan faktor bilangan.
1. Suhu manakah yang paling dingin: 5°C, −3°C, −8°C, 10°C, −13°C?
2. Suhu manakah yang paling panas: 21°C, −6°C, 30°C, −15°C, 0°C?
3. Saldo tabungan Haris awalnya Rp0. Januari: setor Rp200.000, tarik Rp150.000. Februari: setor lagi Rp100.000. Berapa saldo akhir Februari (dalam rupiah, tanpa titik)?
4. Kapal selam turun 180 m dalam 3 jam dengan kecepatan tetap. Posisinya setelah 1 jam adalah...
5. Bioskop memberi minuman gratis tiap pelanggan ke-25 dan popcorn tiap pelanggan ke-30. Dari 1.500 pengunjung, berapa orang yang mendapat KEDUANYA?
6. Hasil dari (−9) × (−9) adalah...
7. FPB dari 24 dan 32 adalah...
8. Pasangan faktor NEGATIF dari 20 adalah...
Refleksi
Centang setiap poin yang sudah kalian kuasai dengan percaya diri.